|
Šifra modula |
PMAT 385 |
Fakultet |
PMF SARAJEVO |
Uvod u realnu analizu sa primjenama
NASTAVNI PROGRAM
A. OPŠTI PODACI
|
Fakultet |
Prirodno-matematički fakultet Univerziteta u
Sarajevu |
|
Odsjek |
Odsjek za matematiku |
|
Smjer |
Primijenjena matematika |
|
Semestar |
Šesti |
|
Naziv modula |
Uvod u realnu analizu sa primjenama |
|
Tip modula |
Obavezni |
|
Broj kreditnih bodova |
5 |
|
Kontakt sati |
Ukupno |
Predavanja |
Vježbe |
Seminari |
Konsultacije |
|
75 |
30 |
30 |
0 |
15 |
|
Samostalni rad (sati) |
50 |
|
Obavezni prethodno položeni moduli |
Analiza I; Analiza II; Analiza III;
Vjerovatnoća i statistika |
|
Modul relevantan za module |
– |
|
Nastavno osoblje |
|
|
– Nastavnik nosilac modula |
Prof. dr. Lejla Smajlović |
|
– Ostali nastavnici |
Prof. dr. Muharem Avdispahić |
|
– Asistenti |
Zenan Šabanac |
B. CILJEVI MODULA
|
U okviru ovog modula studenti će se upoznati sa
osnovnim konceptima savremene matematičke analize, čime će
unaprijediti znanja stečena u kursevima Analize I, Analize II i
Analize III. Savladavanje ovog kursa omogućit će studentima da
razumiju teoriju vjerovatnoće i njene primjene u statistici, kao i
da uspješno prate druge naprednije kurseve iz oblasti analize,
analitičke teorije brojeva i primijenjene matematike. |
C. SPECIFIČNI ZADACI
MODULA
|
Specifični zadatak ovog modula jeste da
studentima predoči osnovne koncepte savremene analize, kao i
mogućnosti njene primjene u rješavanju praktičnih problema. |
D. OČEKIVANI
REZULTATI NASTAVNOG PROCESA
Nakon uspješnog završetka modula studenti će
biti u stanju da:
- Razumiju pojam Borelove i
Lebesgue-Stieltjesove mjere na realnoj liniji;
- Primijenjuju teorem aproksimacije
izmjerive funkcije nizom jednostavnih funkcija;
- Uoče i primjenjuju prednosti
Lebesgueovog integrala na realnoj liniji nad Riemannovim
integralom, kao što su prelazak na limes pod znakom integrala,
integraciju reda funkcija i diferenciranje integrala koji zavisi
od parametra;
- Razumiju pojam produkt mjere i koriste
Fubini-Tonelli teorem pri ispitivanju integrabilnosti funkcije
na produkt prostoru;
- Izračunavaju Lebesgue-Stieltjesove
integrale funkcija i primijenjuju prednosti tog integrala nad
Riemann-Stieltjesovim integralom;
- Razumiju koncept opšteg prostora
vjerovatnoće, slučajne veličine, matematičkog očekivanja,
funkcije distribucije i funkcije gustoće;
- Odrede Fourierovu transformaciju neke
funkcije i uoče da li vrijedi Fourierov teorem inverzije;
- Razumiju pojam aproksimativne jedinice
i njegove primjene;
- Razumiju pojam karakteristične funkcije
slučajne veličine i primijenjuju teorem jedinstvenosti.
|
E. SADRŽAJ NASTAVNOG
PROCESA
|
Br. |
Nastavna jedinica |
Nastavni metod |
Sati rada |
|
Kontakt |
Samostalno |
|
1. |
Pojam mjere. Mjera na realnoj liniji. |
Usmeno izlaganje 2
Vježbe i zadaci 2 |
4 |
3 |
|
2. |
Borelove mjere. Lebesque-Stieltjesova mjera. |
Usmeno izlaganje 2
Vježbe i zadaci 2 |
4 |
3 |
|
3. |
Izmjerive funkcije. Teorem aproksimacije |
Usmeno izlaganje 2
Vježbe i zadaci 2 |
4 |
3 |
|
4. |
Lebesqueov integral. Teorem dominirane
konvergencije i njegove posljedice. |
Usmeno izlaganje 2
Vježbe i zadaci 2 |
4 |
3 |
|
5. |
Veza Lebesqueovog i Riemannovog integrala.
|
Usmeno izlaganje 2
Vježbe i zadaci 2 |
4 |
3 |
|
6. |
Produkt mjere na R. Teorem Fubini-Teonelli. |
Usmeno izlaganje 2
Vježbe i zadaci 2 |
4 |
3 |
|
7. |
Funkcije ograničene varijacije. Totalna
varijacija. |
Usmeno izlaganje 2
Vježbe i zadaci 2 |
4 |
3 |
|
8. |
Lebesque-Stieltjesov integral. Teorem
parcijalne integracije. |
Usmeno izlaganje 2
Vježbe i zadaci 2 |
4 |
3 |
|
9. |
Opšti prostor vjerovatnoće. Neprekidne slučajne
veličine. Funkcija distribucije i funkcija gustoće |
Usmeno izlaganje 2
Vježbe i zadaci 2 |
4 |
3 |
|
10. |
Matematičko očekivanje i varijansa.
|
Usmeno izlaganje 2
Vježbe i zadaci 2 |
4 |
3 |
|
11. |
Tipovi konvergencije slučajnih veličina. |
Usmeno izlaganje 2
Vježbe i zadaci 2 |
4 |
3 |
|
12. |
Fourierova transformacija. Osobine Fourierove
transformacije. |
Usmeno izlaganje 2
Vježbe i zadaci 2 |
4 |
3 |
|
13. |
Konvolucija funkcija.
Aproksimativna jedinica. |
Usmeno izlaganje 2
Vježbe i zadaci 2 |
4 |
3 |
|
14. |
Teoremi inverzije. |
Usmeno izlaganje 2
Vježbe i zadaci 2 |
4 |
3 |
|
15. |
Karakteristična funkcija slučajne veličine.
Teorem jedinstvenosti. |
Usmeno izlaganje 2
Vježbe i zadaci 2 |
4 |
3 |
F. PROVJERA ZNANJA I
OCJENJIVANJE
|
Provjera znanja - kriteriji |
Ocjenjivanje |
|
Kriterij |
Maksimalan broj bodova |
Bodovi za prolaz |
Osvojen broj bodova |
Ocjena (BiH) |
ECTS ocjena |
|
Domaće zadaće |
10 |
5 |
< 55,00 |
5 |
F |
|
Testovi tokom kursa (2 testa) |
50 |
25 |
55,00 – 64,99 |
6 |
E |
|
Pismeni završni ispit |
40 |
25 |
65,00 – 74,99 |
7 |
D |
|
|
|
|
75,00 – 84,99 |
8 |
C |
|
|
|
|
85,00 – 94,99 |
9 |
B |
|
|
|
|
95,00 – 100,00 |
10 |
A |
|
U k u p n o |
100 |
55 |
|
G. LITERATURA
Osnovna
literatura:
1. H. Royden: “Real Analysis”, 3rd
ed. Macmillan Publishing Company, New York
2. P. Billingsley; “Probability
and Measure”, 3rd ed., Wiley Series in Probability and Mathematical
Statistics, New York, 1995
Dopunska
literatura:
1. E. M. Stein, R. Shakarchi:
“Real Analysis: Measure
Theory, Integration, and Hilbert Spaces”, Princeton University Press,
2005