Jednačine matematičke fizike,

Kompleksna analiza kao predmet koristi sva znanja stečena u početnim kursevima analize, koja se, prelaskom s realnog na kompleksan broj, odnosno s realne na kompleksnu varijablu, najprije poopštava, a zatim se, nezavisno od toga razvija, idući tako daleko da na kraju postaje ne samo jednom od najljepših, nego i najkorisnijih oblasti matematike, vršeći, pri tom, snažnu matematizaciju nauke uopšte. Uprkos početku u atmosferi misterioznosti, sumnje i nepovjerenja koji su očituju već iz termina "imaginarnost" i "kompleksnost" kompleksna analiza zahvaljujući velikanima poput Cauchy-a, Riemann-a, Weierstrass-a, Gauss-a, i drugih ... postaje značajnom bazom matematike 19. vijeka.

Cilj ovog predmeta je da se studenti upoznaju s osnovnim pojmovima i metodama teorije funkcija kompleksne promjenljive i da ih se pripremi da dopunjavaju i koriste stečena znanja, koja su od velikog značaja, kako za matematiku, tako i za primjenu i matematičko opisivanje prirodnih i tehničkih naučnih disciplina.

Glavni zadatak je nakon upoznavanja studenta s  kompleksnim brojem, i uvođenja kompleksne funkcije kompleksne promjenljive,sa definicijama granične vrijednosti, neprekidnosti i diferencijabilnosti, koji se, uvode analogno odgovarajućim pojmovima u realnoj analizi, zatim razvitak u Taylorov i Laurent-ov red,  a dalja rea-lizacija modula koja ima dva cilja:

• upoznavanje studenata sa, za njih,  sasvim novim teorijama i

• ukazivanje na poseban značaj stečenog znanja u  primjeni, kao i

• korištenje tog znanja na rješavanje barem osnovnih problema i u onom obimu u kojem to, s obzirom na kratkoću  kursa, vrijeme dozvoli.

  Nakon uspješnog završetka  modula očekuje se da će student:

• steći osnovna znanja iz kompleksne analize kao uvodnog kursa ;
• biti pripremljen za praćenje drugih kurseva koji se na njeg oslanjaju, posebno kompleksne analize II ;
• ovladati tehnikama rješavanja Cauchy-Riemann-ove jednačine, razvijanja funkcije u Taylor-ov i Laurent-ov red, zatim Cauchy-evom teoremom, koja ne može a da ne impresionira i ne izazove divljenje i  uživanje ko studenata kada se upoznaju s njom i počnu da je koriste, računanja realnih  integrala (racionalnih funkcija duž  realne ose i integrala  trigonometrijskih  funkcija)  primjenom teorije ostataka, ...
• da će posjedovati kvalitetna znanja koja će moći primjeniti u rješavanju odgovarajućih problema.

Br.

Nastavna jedinica

Nastavni metod

Sati rada

Kontakt

Samostalno

1.

Kompleksni brojevi, njihove osobine i geometrijska interpretacija:  modul i argument. Pojam proizvoda i stepena, odnosno količnika i korijena,  n -ti korijen jedinice. Stereografska projekcija i Riemann-ova sfera.

Kombinacija predavanja

I auditornih vježbi

        7

          4

2.

Topologija kompleksne ravni. 

                  "

        7

         4

3.

Kompleksna funkcija realne promjenljive. Jordan-ova kriva.

Oblasti  (zatvorene i otvorene).

                  "

        7

         4

4.

Nizovi i redovi s kompleksnim članovima (konvergentni i divergentni).

Apsolutna i bezuslovna konvergencija.

                  "

        7

         4

5.

Pojam funkcije kompleksne promjenljive: njena  granična vrijednost neprekidnost i diferencijabilnost. Cauchy-Riemann-ove jednačine. Geometrijsko predstavljanje i modularne površi.

                  "

        7

        4

6.

Bilinearna funkcija i njene geometrij-ske osobine. Bilinearni izomorfizmi i automorfizmi. Model geometrije Lobačevskog.

                  "

        7

        4

7.

Stepeni redovi. Elementarne funkcije:

ez, zn, trigonometrijske sin z i cos z  i

hiperbolijske funkcije  sh z  i  ch z.

                  "

        7

        4

8.

Pojam jednolisne funkcije.  Inverzne funkcije funkcija  ez, zn, sin z i cos z.

Pojam Riemann-ove površi.

                  "

        7

        4

9.

Krivolinijski integral i osobine neprekidne funkcije. Cauchy-eva

elementarna i opšta teorema u slučaju

jednostruko i višestruko povezane oblasti. Neodređeni integral.

                  "

        7

        4

10.

Cauchy-eva integralna formula za analitičku funkciju  f (z) i njene izvode.

Liouville-ova teorema.  Osnovni stav algebre. Morerat-ova teorema. Primitivna funkcija

                  "

        7

       4

11.

Razvitak funkcije u Taylor-ov red. Princip jedinstvenosti. Weierstrass-

ova i Runge-ova teorema.

                  "

        7

       4

12.

Pojam singularne tačke.

Razvitak funkcije u Lauren-tov red

u okolini izolovane singularne tačke. Vrste singularnih tačaka.

                  "

        7

       4

13.

Redovi analitičkih funkcija i njihove osobine: integracija i diferencijacija član po član.

                 "

        7

       4

14.

Pojam ostatka (reziduuma) i teorema

o ostatku. Princip argumenta. Rouché-ov stav. Primjena teoreme o ostatku na nesvojstvene integrale. Računanje integrala racionalnih funkcija duž realne ose i integrala trigonometrijskih funkcija. Teorema o nazubljenju

                 "

        7

        4

15.

Izračunavanje Fourierove transformaci- je racionalne funkcije. Gama funkcija.

                 "

        7

        4

(BiH)