|
Šifra modula |
PMAT 340 |
Fakultet |
PMF Sarajevo |
Grupe prsteni i moduli
NASTAVNI PROGRAM
A. OPŠTI PODACI
|
Fakultet |
Prirodno-matematički fakultet Univerziteta u
Sarajevu |
|
Odsjek |
Odsjek za matematiku |
|
Smjer |
Matematika (nastavni); Teorijska matematika |
|
Semestar |
Peti |
|
Naziv modula |
Grupe, prsteni i moduli |
|
Tip modula |
Obavezni |
|
Broj kreditnih bodova |
6 |
|
Kontakt sati |
Ukupno |
Predavanja |
Vježbe |
Seminari |
Konsultacije |
|
105 |
45 |
45 |
0 |
15 |
|
Samostalni rad (sati) |
45 |
|
Obavezni prethodno položeni moduli |
Uvod u linearnu algebru; Linearna algebra |
|
Modul relevantan za module |
Teorija polja i teorija Galoa |
|
Nastavno osoblje |
|
|
– Nastavnik nosilac modula |
Prof. dr. Mirjana Vuković |
|
– Ostali nastavnici |
Prof. dr. Hasan Jamak |
|
– Asistenti |
Manuela Muzika-Dizdarević; Dženan Gušić; Mr.
Emil Ilić-Georgijević; Amil Pečenković |
B. CILJEVI MODULA
|
Cilj ovog predmeta je steći znanja iz teorije
grupa koja je od velikog značaja, kako za matematiku, tako i za
matematičko opisivanje drugih, posebno prirodnih i tehničkih
naučnih disciplina.
Ovaj modul je relevantan i za sve module
postdiplomskog studija vezane za Algebru, Teoriju brojeva, Topološke
grupe, Funkcionalnu analizu,... |
C. SPECIFIČNI ZADACI MODULA
U okviru ovog modula student će se upoznati s
pojmom grupe, koja predstavlja osnovnu algebarsku strukturu s
jednom binarnom operacijom i njenim podstrukturama podgrupama i
normalnim podgrupama, zatim homomorfizmima odgovarajućom faktorskom
strukturom, simetričnom grupom Sn , kao i pitanjem rješivosti
grupa, konačnim i konačno generisanim grupama. Usvajanjem pojma
grupe postići će se:
- pored znanja i osposobljenost studenta
za dublje poimanje i rezonovanje na višem nivou apstrahovanja i
- osposobljenost za korištenje ovog
složenog, a istovremeno veoma važnog matematičkog aparata pri
rješavanju
- brojnih problema, kako u oblasti
matematike i prirodnih nauka (posebno fizike, hemije i
biologije), tako i tehnike i geologije.
|
D.
OČEKIVANI REZULTATI NASTAVNOG PROCESA
|
Nakon upoznavanja s pojmom grupe, slobodbo se može konstatovati da
će se postići samo djelić znanja, jedva dovoljan za praćenje nastave
iz oblasti algebre na nivou postdiplomskog studija vezanog za
algebru. Smatram da će svako ko bude odlučio da se bavi algebrom
morati da značajno upotpuni svoje znanje u cilju postizanja
kompetentnosti. |
E. SADRŽAJ
NASTAVNOG PROCESA
|
Br. |
Nastavna jedinica |
Nastavni metod |
Sati rada |
|
Kontakt |
Samostalno |
|
1. |
Uvod
u teoriju grupa. Grupoid i
polu-grupa. Regularni i invertibilni elementi.
Definicija i primjeri grupa. |
Kombinacija predavanja i
auditornih vježbi
|
7 |
4 |
|
2. |
Podgrupa i primjeri podgrupa.
Ciklička podgrupa. Centar grupe.
Red
elementa i indeks podgrupe. |
" |
7 |
4 |
|
3. |
Normalna podgrupa.
Faktorska grupa.
Normalizator.
Lagrangeova teorema |
" |
7 |
4 |
|
4. |
Homomorfizmi. Teoreme homomorfije. Izomorfizmi grupa.
Odgovarajuće
teoreme. |
" |
7 |
4 |
|
5.
|
Djelovanje grupe na nekom skupu.
Konjugovanje.
Grupa inercije i
orbita. Relacije klasa.
Cayleyeva teorema. |
" |
7 |
4 |
|
6.
|
Burnsideova teorema |
" |
7 |
4 |
|
7.
|
Cauchy-eva teorema. p-podgrupe. Teoreme
Sylow-a i njhove primjene. |
" |
7 |
4 |
|
8. |
Simetrična
grupa. Ciklusi i
transpozici-je.
Ciklička dekompozicija. |
" |
7 |
4 |
|
9. |
Parne i Neparne
permutacije.
Komutatorska podgrupa.
|
" |
7 |
4 |
|
10. |
Nizovi grupa:
Normalni i kompozicioni Teoreme o
profinjenju. |
" |
7 |
4 |
|
11. |
Rješive grupe
Nerješivost
grupe Sn,
za n > 4. |
" |
7 |
4 |
|
12. |
Strukturne teoreme o grupama. Direktni proizvod grupa.
Unutrašnja direktna suma.
Subdirektni proizvod. |
" |
7 |
4
|
|
13. |
Nilpotentne grupe |
" |
7 |
4 |
|
14. |
Konačno generisane Abelove grupe: slobodne i bez torzije |
" |
7 |
4 |
|
15. |
Invarijante konačnih Abelovih grupa. |
" |
7 |
4 |
F.
PROVJERA ZNANJA I OCJENJIVANJE
|
Provjera znanja – kriteriji |
Ocjenjivanje |
|
Kriterij |
Maksimalan broj bodova |
Bodovi za prolaz |
Osvojen broj bodova |
Ocjena (BiH) |
ECTS ocjena |
|
Urednost pohađanja nastave |
10 |
4 |
< 55,00 |
5 |
F |
|
Angažman na nastavi |
10 |
6 |
55,00 – 64,99 |
6 |
E |
|
Testovi tokom kursa (2 testa) |
40 |
20 |
65,00 – 74,99 |
7 |
D |
|
Pismeni završni ispit |
40 |
25 |
75,00 – 84,99 |
8 |
C |
|
|
|
|
85,00 – 94,99 |
9 |
B |
|
|
|
|
95,00 – 100,00 |
10 |
A |
|
U k u p n o |
100 |
55 |
|
G.
LITERATURA
Osnovna literatura:
1. V. Perić,
Algebra I, 3.
izdanje (1991); Algebra
II, 2. izdanje
(1989). Svjetlost , Sarajevo.
2. I.N.
Herstein,
Abstract algebra,
Macmillan Publishing
Company, New York;
Collier Macmillan
Publishers London,
1986.
3. H.
Jamak,
Algebra (grupe,
mreže,
prsteni),
N.I. Sezam, Sarajevo, 2004.
4. M.
Vuković,
Teorija grupa i
reprezentacija s primjenama u fizici, Sarajevo Publishing
i PMF
Sarajevo, U.K, Sarajevo, 2003.
5. G. Kalajdžić, Algebra, Matematički fakultet, Beograd,
2000.
Dopunska literatura:
1.
P.B.
Bhattacharya,
S.K.
Jain,
S.R.
Nagapaul,
Basic Abstract Algebra,
2. izdanje,
Cambridge
Univ. Pess, New-York, 1994.
2. J. B. Fraleigh,
A First Course in Abstract Algebra, Adison-Wesley Publishing
Company,
New-York, 1988.
3. S. Lang,
Algebra, Springer-Verlag, New York, 2002.