|
Šifra modula |
PMAT 230 |
Fakultet |
PMF Sarajevo |
Analiza III
NASTAVNI PROGRAM
A. OPŠTI PODACI
|
Fakultet |
Prirodno-matematički fakultet Univerziteta u
Sarajevu |
|
Odsjek |
Odsjek za matematiku |
|
Smjer |
Svi smjerovi |
|
Semestar |
Treći |
|
Naziv modula |
Analiza III |
|
Tip modula |
Obavezni |
|
Broj kreditnih bodova |
7 |
|
Kontakt sati |
Ukupno |
Predavanja |
Vježbe |
Seminari |
Konsultacije |
|
105 |
60 |
45 |
0 |
po potrebi |
|
Samostalni rad (sati) |
70 |
|
Obavezni prethodno položeni moduli |
Analiza I; Analiza II |
|
Modul relevantan za module |
Analiza IV; Diferencijalne jednadžbe; Metodi
primijenjene matematike |
|
Nastavno osoblje |
|
|
– Nastavnik nosilac modula |
Prof. dr. Mirjana Malenica |
|
– Ostali nastavnici |
Prof.dr. Muharem Avdispahić; Doc.dr. Lejla
Smajlović |
|
– Asistenti |
Damir Hasić; Mr. Nacima Ouis-Memić; Zenan
Šabanac |
B. CILJEVI MODULA
|
Predmeti Analiza I, II i III čine zajedničku osnovu u obrazovanju
matematičara na svim modernim univerzitetima. Predmet Analiza III se
bavi izučavanjem funkcija više promjenljivih i obuhvata
diferencijalni i integralni račun funkcija više promjenljivih.
Studenti koji uspješno apsolviraju gradivo ovih predmeta u
mogućnosti su da prate i usvoje znanja koja se stiču na naprednijim
kursevima kao što su Diferencijalne jednačine, Diferencijalna
geometrija, Kompleksna analiza, Realna analiza, Funkcionalna analiza
itd. |
C. SPECIFIČNI ZADACI MODULA
|
Nakon upoznavanja sa osnovnim elementima Furijeovih redova,
sumabilnosti, osnovnim pojmovima funkcija više nezavisno
promjenljivih realizacija modula se koncentriše na sljedeće ciljeve:
- Primjenu diferencijalnog računa;
- Rimanov integral u
 -dimenzionalnom
prostoru;
- Nesvojstveni integral;
- Krivolinijski i površinksi
integrali prve i druge vrste sa posebnim naglaskom na Grinovu
formulu i formulu Gausa-Ostrogradskog.
|
D. OČEKIVANI REZULTATI NASTAVNOG
PROCESA
|
Student će
- Razviti osjećaj za kreativnost;
- Ovladati kriterijima za ispitivanje
konvergencije pri različitim graničnim procesima i načinima
određivanja granične vrijednosti funkcija više promjenljivih;
- Ovladati tehnikama diferencijalnog
računa funkcija više realnih promjenljivih;
- Ovladati metodama izračunavanja
integrala sa primjenama u fizici i drugim prirodnim naukama.
|
E. SADRŽAJ NASTAVNOG
PROCESA
|
Br. |
Nastavna jedinica |
Nastavni metod |
Sati rada |
|
Kontakt |
Samostalno |
|
1. |
Funkcije ograničene varijacije. Razlaganje
funkcije f(x) = (1+x)m u Tajlorov, odnosno Maklorenov red. Operacije
sa stepenim redovima. Periodične funkcije. Trigonometrijski polinomi.
Ortogonalni sistemi funkcija. Furijeovi redovi. Aproksimacija
trigonometrijskim polinomom. Riman-Lebegova lema. |
Kombinacija predavanja i auditornih vježbi |
7 |
5 |
|
2. |
Konvergencija Furijeovog reda. Rimanov princip
lokalizacije. Dinijev kriterij za konvergenciju Furijeovog reda.
Lipšicov kriterij. Dirihle-Žordanov kriterij. Slučaj neperiodične
funkcije. Razvijanje samo po sinusima, odnosno samo po kosi-nusima.
Slučaj proizvoljnog argumenta. |
– II – |
7 |
5 |
|
3. |
Sumabilnost. Sumabilnost Furijeovih redova.
Fejerov integral. Fejerovo jezgro. Dirihleovo jezgro. Fejerov teorem.
Vajerštrsov teorem o aproksimaciji neprekidne funkcije algebarskim
polinomom. |
– II – |
7 |
5 |
|
4. |
Prostor Rn. Funkcije više nezavisno
promjenljivih. Granična vrijednost. Neprekidne funkcije. Osnovni
teoremi o neprekidnim funkcijama. |
– II – |
7 |
4 |
|
5. |
Djelimični izvodi. Diferencijal funkcije dvije
promjenljive. Diferencijal funkcije nezavisno
promjenljivih. Izvod složene funkcije. Invarijantnost forme
diferencijala. Tangencijalna ravan. |
– II – |
7 |
5 |
|
6. |
Izvod u određenom smjeru. Izvodi višeg reda.
Izvodi višeg reda složene funkcije. Diferencijali višeg reda.
Tajlorova formula. Primjena diferencijalnog računa – ekstremi.
Najveća i najmanja vrijednost funkcije. |
– II – |
7 |
5 |
|
7. |
Izvod vektorske funkcije više nezavisno
promjenljivih. Diferencijabilnost složene funkcije. Teorem o
srednjoj vrijednosti. Implicitno zadane funkcije. |
– II – |
7 |
4 |
|
8. |
Teorem o inverznoj funkciji. Difeomorfizam.
Uslovni ekstrem – uvod. Uslovni ekstrem. Lagranžova funkcija.
Lagranžovi multiplikatori. Potrebni uslovi za vezani ekstrem.
Dovoljni uslov za vezani ekstrem. |
– II – |
7 |
5 |
|
9. |
Rimanov integral po n-dimenzionalnom prostoru.
Skup odabranih tačaka. Integrabilnost. Darbuov i Lebegov kriterij
integrabilnosti funkcije. Poopštenje pojma integrala. Zapremina ili
mjera skupa. |
– II – |
7 |
5 |
|
10. |
Skup mjerljiv u Žordanovom smislu. Osobine
integrala. Teoremi o srednjoj vrijednosti u integralnom računu.
Fubinijev teorem. Neke osobine skupova mjerljivih u Lebegovom i
Žordanovom smislu. Zamjena promjenljivih. |
– II – |
7 |
4 |
|
11. |
Nesvojstveni integral. Konvergencija. Poasonov
integral. Apsolutna integrabilnost i primjena. Smjena promjenljivih
u nesvojstvenom integralu. |
– II – |
7 |
5 |
|
12. |
Tangenta krive u Rn. Dužina krive u Rn.
Linijski integrali prve vrste. Linijski integrali druge vrste.
Izračunavanje linijskog integrala druge vrste. Veza između linijskog
integrala prve i druge vrste. Uslovi nezavisnosti linijskog
integrala druge vrste od puta integracije. |
– II – |
7 |
5 |
|
13. |
Totalni diferencijal. Jednostruko i višestruko
povezane oblasti. Uslovi nezavisnosti linijskog integrala druge
vrste od puta integracije u slučaju prostora. Grinova formula i
primjene. |
– II – |
7 |
4 |
|
14. |
Površinski integrali – uvodana razmatranja.
Jednostrane i dvostrane površi. Orijentacija glatke dvostrane površi.
Orijentabilne po dijelovima glatke površi. Površina površi.
Površinski integrali prve vrste. Površinski integrali druge vrste. |
– II – |
7 |
5 |
|
15. |
Formula Gausa-Ostrogradskog i primjene.
Stoksova formula i primjene. |
– II – |
7 |
4 |
F. PROVJERA
ZNANJA I OCJENJIVANJE
|
Provjera znanja - kriteriji |
Ocjenjivanje |
|
Kriterij |
Maksimalan broj bodova |
Bodovi za prolaz |
Osvojen broj bodova |
Ocjena (BiH) |
ECTS ocjena |
|
Angažman na nastavi i zadaće |
20 |
10 |
< 55,00 |
5 |
F |
|
Testovi tokom kursa (2 testa) |
40 |
20 |
55,00 – 64,99 |
6 |
E |
|
Pismeni završni ispit |
40 |
25 |
65,00 – 74,99 |
7 |
D |
|
|
|
|
75,00 – 84,99 |
8 |
C |
|
|
|
|
85,00 – 94,99 |
9 |
B |
|
|
|
|
95,00 – 100,00 |
10 |
A |
|
U k u p n o |
100 |
55 |
|
G. LITERATURA
Osnovna literatura:
1. F. Vajzović i M. Malenica: Diferencijalni račun
funkcija više promjenljivih, Univerzitetska knjiga, Sarajevo, 2002.
2. F. Vajzović i M. Malenica: Integralni račun
funkcija više promjenljivih, Univerzitetska knjiga, Sarajevo, 2002.
3. Ljaško i ostali: Zbirka zadataka iz matematičke
analize.
Dopunska literatura:
1.
S. Kurepa: Matematička analiza III dio; Funkcije više
varijabli, Tehnička knjiga, Zagreb 1970.
2.
S. Mardešić: Matematička analiza u n-dimenzionalnom realnom
prostoru, Školska knjiga Zagreb, 1979.
3.
S. Mardešić: Matematička analiza u n-dimenzionalnom realnom
prostoru, Drugi dio: Integral i mjera, Školska
knjiga Zagreb, 1977.
4. D. Mihailović, D.Đ. Tošić:
Elementi matematičke analize II, Naučna knjiga, Beograd, 1991.