Šifra modula PMAT 230 Fakultet PMF Sarajevo

 

Analiza III

 

NASTAVNI PROGRAM

 

A. OPŠTI PODACI

Fakultet Prirodno-matematički fakultet Univerziteta u Sarajevu
Odsjek Odsjek za matematiku
Smjer Svi smjerovi
Semestar Treći
Naziv modula Analiza III
Tip modula Obavezni
Broj kreditnih bodova 7
Kontakt sati Ukupno Predavanja Vježbe Seminari Konsultacije
105 60 45 0 po potrebi
Samostalni rad (sati) 70
Obavezni prethodno položeni moduli Analiza I; Analiza II
Modul relevantan za module Analiza IV; Diferencijalne jednadžbe; Metodi primijenjene matematike
Nastavno osoblje  
– Nastavnik nosilac modula

Doc. dr. Almasa Odžak

– Ostali nastavnici -
– Asistenti Medina Sušić, MA

B. CILJEVI MODULA

Predmeti Analiza I, II i III čine zajedničku osnovu u obrazovanju matematičara na svim modernim univerzitetima. Predmet Analiza III se bavi izučavanjem funkcija više promjenljivih i obuhvata diferencijalni i integralni račun funkcija više promjenljivih. Studenti koji uspješno apsolviraju gradivo ovih predmeta u mogućnosti su da prate i usvoje znanja koja se stiču na naprednijim kursevima kao što su Diferencijalne jednačine, Diferencijalna geometrija, Kompleksna analiza, Realna analiza, Funkcionalna analiza itd.

C. SPECIFIČNI ZADACI MODULA

Nakon upoznavanja sa osnovnim elementima Furijeovih redova, sumabilnosti, osnovnim pojmovima funkcija više nezavisno promjenljivih realizacija modula se koncentriše na sljedeće ciljeve:

  • Primjenu diferencijalnog računa;
  • Rimanov integral u -dimenzionalnom prostoru;
  • Nesvojstveni integral;
  • Krivolinijski i površinksi integrali prve i druge vrste sa posebnim naglaskom na Grinovu formulu i formulu Gausa-Ostrogradskog.

D. OČEKIVANI REZULTATI NASTAVNOG PROCESA

Student će

  • Razviti osjećaj za kreativnost;
  • Ovladati kriterijima za ispitivanje konvergencije pri različitim graničnim procesima i načinima određivanja granične vrijednosti funkcija više promjenljivih;
  • Ovladati tehnikama diferencijalnog računa funkcija više realnih promjenljivih;
  • Ovladati metodama izračunavanja integrala sa primjenama u fizici i drugim prirodnim naukama.

 E. SADRŽAJ NASTAVNOG PROCESA

Br. Nastavna jedinica Nastavni metod Sati rada
Kontakt Samostalno
1. Funkcije ograničene varijacije. Razlaganje funkcije f(x) = (1+x)m u Tajlorov, odnosno Maklorenov red. Operacije sa stepenim redovima. Periodične funkcije. Trigonometrijski polinomi. Ortogonalni sistemi funkcija. Furijeovi redovi. Aproksimacija trigonometrijskim polinomom. Riman-Lebegova lema. Kombinacija predavanja i auditornih vježbi 7 5
2. Konvergencija Furijeovog reda. Rimanov princip lokalizacije. Dinijev kriterij za konvergenciju Furijeovog reda. Lipšicov kriterij. Dirihle-Žordanov kriterij. Slučaj neperiodične funkcije. Razvijanje samo po sinusima, odnosno samo po kosi-nusima. Slučaj proizvoljnog argumenta. – II – 7 5
3. Sumabilnost. Sumabilnost Furijeovih redova. Fejerov integral. Fejerovo jezgro. Dirihleovo jezgro. Fejerov teorem. Vajerštrsov teorem o aproksimaciji neprekidne funkcije algebarskim polinomom. – II – 7 5
4. Prostor Rn. Funkcije više nezavisno promjenljivih. Granična vrijednost. Neprekidne funkcije. Osnovni teoremi o neprekidnim funkcijama. – II – 7 4
5. Djelimični izvodi. Diferencijal funkcije dvije promjenljive. Diferencijal funkcije nezavisno promjenljivih. Izvod složene funkcije. Invarijantnost forme diferencijala. Tangencijalna ravan. – II – 7 5
6. Izvod u određenom smjeru. Izvodi višeg reda. Izvodi višeg reda složene funkcije. Diferencijali višeg reda. Tajlorova formula. Primjena diferencijalnog računa – ekstremi. Najveća i najmanja vrijednost funkcije. – II – 7 5
7. Izvod vektorske funkcije više nezavisno promjenljivih. Diferencijabilnost složene funkcije. Teorem o srednjoj vrijednosti. Implicitno zadane funkcije. – II – 7 4
8. Teorem o inverznoj funkciji. Difeomorfizam. Uslovni ekstrem – uvod. Uslovni ekstrem. Lagranžova funkcija. Lagranžovi multiplikatori. Potrebni uslovi za vezani ekstrem. Dovoljni uslov za vezani ekstrem. – II – 7 5
9. Rimanov integral po n-dimenzionalnom prostoru. Skup odabranih tačaka. Integrabilnost. Darbuov i Lebegov kriterij integrabilnosti funkcije. Poopštenje pojma integrala. Zapremina ili mjera skupa. – II – 7 5
10. Skup mjerljiv u Žordanovom smislu. Osobine integrala. Teoremi o srednjoj vrijednosti u integralnom računu. Fubinijev teorem. Neke osobine skupova mjerljivih u Lebegovom i Žordanovom smislu. Zamjena promjenljivih. – II – 7 4
11. Nesvojstveni integral. Konvergencija. Poasonov integral. Apsolutna integrabilnost i primjena. Smjena promjenljivih u nesvojstvenom integralu. – II – 7 5
12. Tangenta krive u Rn. Dužina krive u Rn. Linijski integrali prve vrste. Linijski integrali druge vrste. Izračunavanje linijskog integrala druge vrste. Veza između linijskog integrala prve i druge vrste. Uslovi nezavisnosti linijskog integrala druge vrste od puta integracije. – II – 7 5
13. Totalni diferencijal. Jednostruko i višestruko povezane oblasti. Uslovi nezavisnosti linijskog integrala druge vrste od puta integracije u slučaju prostora. Grinova formula i primjene. – II – 7 4
14. Površinski integrali – uvodana razmatranja. Jednostrane i dvostrane površi. Orijentacija glatke dvostrane površi. Orijentabilne po dijelovima glatke površi. Površina površi. Površinski integrali prve vrste. Površinski integrali druge vrste. – II – 7 5
15. Formula Gausa-Ostrogradskog i primjene. Stoksova formula i primjene. – II – 7 4

 

F. PROVJERA ZNANJA I OCJENJIVANJE

Provjera znanja - kriteriji Ocjenjivanje
Kriterij Maksimalan broj bodova Bodovi za prolaz Osvojen broj bodova Ocjena

(BiH)

ECTS ocjena
Angažman na nastavi i zadaće 20 10 < 55,00 5 F
Testovi tokom kursa (2 testa) 40 20 55,00 – 64,99 6 E
Pismeni završni ispit 40 25 65,00 – 74,99 7 D
      75,00 – 84,99 8 C
      85,00 – 94,99 9 B
      95,00 – 100,00 10 A
U k u p n o 100 55  

G. LITERATURA

Osnovna literatura:

1.   F. Vajzović i M. Malenica: Diferencijalni račun funkcija više promjenljivih, Univerzitetska knjiga, Sarajevo, 2002.

2.   F. Vajzović i M. Malenica: Integralni račun funkcija više promjenljivih, Univerzitetska knjiga, Sarajevo, 2002.

3.   Ljaško i ostali: Zbirka zadataka iz matematičke analize.

Dopunska literatura:

1.        S. Kurepa: Matematička analiza III dio; Funkcije više varijabli, Tehnička knjiga, Zagreb 1970.

2.        S. Mardešić: Matematička analiza u n-dimenzionalnom realnom prostoru, Školska knjiga Zagreb, 1979.

3.        S. Mardešić: Matematička analiza u n-dimenzionalnom realnom prostoru, Drugi dio: Integral i mjera, Školska     

        knjiga Zagreb, 1977.

4.        D. Mihailović, D.Đ. Tošić: Elementi matematičke analize II, Naučna knjiga, Beograd, 1991.