|
Šifra modula |
PMAT 390 |
Fakultet |
PMF Sarajevo |
Algebarska polja i teorija Galoa
NASTAVNI PROGRAM
A. OPŠTI PODACI
|
Fakultet |
Prirodno-matematički fakultet Univerziteta u
Sarajevu |
|
Odsjek |
Odsjek za matematiku |
|
Smjer |
Matematika (nastavni); Teorijska matematika |
|
Semestar |
Šesti |
|
Naziv modula |
Algebarska polja i teorija Galoa |
|
Tip modula |
Obavezni |
|
Broj kreditnih bodova |
6 |
|
Kontakt sati |
Ukupno |
Predavanja |
Vježbe |
Seminari |
Konsultacije |
|
90 |
45 |
45 |
0 |
po potrebi |
|
Samostalni rad (sati) |
60 |
|
Obavezni prethodno položeni moduli |
Uvod u linearnu algebru; Linearna algebra;
Grupe, prsteni i moduli |
|
Modul relevantan za module |
Svi moduli drugog ciklusa studija vezani za
algebru |
|
Nastavno osoblje |
|
|
– Nastavnik nosilac modula |
Prof. dr. Mirjana Vuković |
|
– Ostali nastavnici |
Prof. dr. Hasan Jamak |
|
– Asistenti |
Manuela Muzika-Dizdarević; Dženan Gušić; Mr.
Emil Ilić-Georgijević |
B. CILJEVI MODULA
|
Cilj ovog predmeta je steći znanja iz teorije
prstena i polja uključujući teoriju Galois koji su od velikog
značaja, kako za samu matematiku, tako i za matematičko opisivanje
drugih, posebno prirodnih i tehničkih naučnih disciplina.
Ovaj modul je relevantan kako za sve module
postdiplomskog studija vezane za algebru, tako i za Teoriju brojeva,
Topološke grupe, Funkcionalnu analizu,... |
C. SPECIFIČNI ZADACI MODULA
U okviru ovog modula student će se upoznati s
pojmovima osnovnih algebarskih struktura s dvije binarne opera-cije
(psten, tijelo, polje) i njihovim podstrukturama podgrupama i
normalnim podgrupama, prstenima i idealima, poljima i poljima
razlomaka, zatim homomorfizmima odgovarajućih struktura i njihovim
faktorskim strukturama. Bavićemo se i pitanjem rješivosti
algebarskih jednačina koje će nas dovesti do odgovora na pitanje da
li je moguća geometrijska konstrukcija: duži pomoću linijara i
šestara; trisekcija ugla; duplikacija kocke; kvadratura kruga i
konstrukcija pravilnog n-tougla. Usvajanjem pojmova osnovnih
algebarskih struktura (pstena, tijela, polja) postići će se:
- pored znanja i osposobljenost studenta
za dublje poimanje i rezonovanje na višem nivou apstrahovanja i
- osposobljenost za korištenje ovog
složenog, a istovremeno veoma važnog matematičkog aparata pri
rješavanju
- brojnih problema kako u oblasti
matematike i prirodnih nauka (posebno fizike, hemije i
biologije), tako i tehnike i geologije, a u novije vrijeme čak
jezika i muzike,...
|
D.
OČEKIVANI REZULTATI NASTAVNOG PROCESA
|
Nakon upoznavanja s pojmom prstena, tijela i polja zapravo se može
konstatovati da će se postići samo djelić znanja, jedva dovoljan za
praćenje nastave iz oblasti algebre na nivou postdiplomskog studija
vezanog za algebru. Smatram da će svako ko bude odlučio da se bavi
algebrom morati da značajno upotpuni svoje znanje u
cilju postizanja kompetentnosti. |
E. SADRŽAJ
NASTAVNOG PROCESA
|
Br. |
Nastavna jedinica |
Nastavni metod |
Sati rada |
|
Kontakt |
Samostalno |
|
1. |
Algebarske strukture sa dvije binarne operacije.
Prsten, tijelo i polje. Primjeri. |
Kombinacija predavanja i auditornih vježbi |
6 |
4 |
|
2. |
Produbljivanje znanja iz oblasti teorije
prstena stečenih na modulu Grupe, prsteni i moduli. |
– II – |
6 |
4 |
|
3. |
Prsten polinom nad oblasti s jednoznačnom
faktorizacijom. Nule polinoma. Višestruke nule. Izvodni polinomi.
Karakteristika. |
– II – |
6 |
4 |
|
4. |
Nesvodljivost polinoma. Kriteriji
nesvodljivosti. |
– II – |
6 |
4 |
|
5. |
Proširenja polja: konačna i algebarska.
Algebarski elementi. Adjunkcija. |
– II – |
6 |
4 |
|
6. |
Kronecker-ova teorema. Polje razlaganja. |
– II – |
6 |
4 |
|
7. |
Relativni monomorfizmi: pojam relativnog
monomorfizma; teorema o produženju relativnog monomorfizma. |
– II – |
6 |
4 |
|
8. |
Normalna i separabilna proširenja. Savršena
polja. Čisto inseparabilno proširenje. |
– II – |
6 |
4 |
|
9. |
Korijeni jedinice i polinom diobe kruga.
Komutativnost konačnog tijela. |
– II – |
6 |
4 |
|
10. |
Konačna polja. Teorema o primitivnom elementu. |
– II – |
6 |
4 |
|
11. |
Galois-ova grupa polja. Galois-ova grupa
algebarske jednačine. Abelova i ciklička proširenja. |
– II – |
6 |
4 |
|
12. |
Čista algebarska jednačina. Osnovna teorema
teorije Galois. Gauss-ovi periodi. |
– II – |
6 |
4 |
|
13. |
Polje radikala i njegovo normalno zatvorenje.
Galois-ova grupa normalnog polja radikala. |
– II – |
6 |
4 |
|
14. |
Rješivost algebarske jednačine pomoću radikala.
Opšta algebarska jednačina. Abelova teorema. |
– II – |
6 |
4 |
|
15. |
Geometrijske konstrukcije: konstrukcija duži
pomoću linijara i šestara; trisekcija ugla; duplikacija kocke;
kvadratura kruga; konstrukcija pravilnog n-tougla. |
– II – |
6 |
4 |
F.
PROVJERA ZNANJA I OCJENJIVANJA
|
Provjera znanja - kriteriji |
Ocjenjivanje |
|
Kriterij |
Maksimalan broj bodova |
Bodovi za prolaz |
Osvojen broj bodova |
Ocjena (BiH) |
ECTS ocjena |
|
Urednost pohađanja nastave |
10 |
4 |
< 55,00 |
5 |
F |
|
Angažman na nastavi |
10 |
6 |
55,00 – 64,99 |
6 |
E |
|
Testovi tokom kursa (2 testa) |
40 |
20 |
65,00 – 74,99 |
7 |
D |
|
Pismeni završni ispit |
40 |
25 |
75,00 – 84,99 |
8 |
C |
|
|
|
|
85,00 – 94,99 |
9 |
B |
|
|
|
|
95,00 – 100,00 |
10 |
A |
|
U k u p n o |
100 |
55 |
|
G.
LITERATURA
Osnovna literatura:
1. V. Perić, Algebra I, 3.
izdanje
(1991); Algebra II, 2. izdanje
(1989). Svjetlost , Sarajevo.
2. I.N. Herstein, Abstract algebra,
Macmillan Publishing Company, New York; Collier
Macmillan Publishers London, 1986.
3. H. Jamak, Algebra (grupe, mreže,
prsteni), N.I. Sezam, Sarajevo, 2004.
4.
M.
Vuković,
Teorija grupa i reprezentacija s
primjenama u fizici,
Sarajevo Publishing
i PMF Sarajevo, U.K, Sarajevo, 2003.
5. G. Kalajdžić,
Algebra, Matematički fakultet, Beograd, 2000.
Dopunska literatura:
1.
P.B.
Bhattacharya,
S.K.
Jain,
S.R.
Nagapaul,
Basic Abstract Algebra,
2. izdanje,
Cambridge Univ. Perss, New York, 1994.
2. J. B. Fraleigh, A First Course
in Abstract Algebra, Adison-Wesley Publishing Company,
New York, 1988.
3. S. Lang, Algebra,
Springer-Verlag, New York, 2002.